Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=AB=1，PB=PD=

2

，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-AC-E的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面ACE．

Answer 1

（1）正方形ABCD边长为1，PA=1，PB=PD=

2

，
所以，∠PAB=∠PAD=90°，即PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A，
根据直线和平面垂直的判定定理，
有PA⊥平面ABCD．
（2）如图，以A为坐标原点，直线AB、AD、AP分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则

AC

=(1，1，0)，

AE

=(0，

2

3

，

1

3

)，
由（1）知

AP

为平面ACD的法向量，

AP

=(0，0，1)，
设平面ACE的法向量为

n

=(a，b，c)，
则

a+b=0 2 3 b+ 1 3 c=0

令c=6，则b=-3，a=3，

n

=(3，-3，6)，…（4分）
设二面角D-AC-E的平面角为θ，则|cosθ|=

| n • AP |

| n || AP |

=

6

3

，
又有图可知，θ为锐角，
故所求二面角的余弦值为

6

3

．
（3）设

PF

=λ

PC

(λ∈[0，1])，则

PF

=λ(1，1，-1)=(λ，λ，-λ)，

BF

=

BP

+

PF

=(λ-1，λ，1-λ)，
若BF∥平面ACE，则

BF

⊥

n

，即

BF

•

n

=0，（λ-1，λ，1-λ）•（3，-3，6）=0，
计算得λ=

1

2

所以，存在满足题意的点，即当F是棱PC的中点时，BF∥平面ACE．…（8分）