题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若直线与曲线
的交点的横坐标为
,且
,求整数
所有可能的值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】试题分析:
(1)求出导函数,根据
的值分下、负、0进行讨论,可得
的正负,从而得单调性;
(2)即方程
的解,由于
,方程变形为
,这样只要研究函数
的零点可能在哪个区间即可,由导数知
是
和
上的单调增函数,计算
可得结论.
试题解析:
(1)解: ,∴
,
①若时,
在
上恒成立,所以函数
在
上单调递增;
②若时,当
时,
,函数
单调递增,
当时,
,函数
单调递减;
③若时,当
时,
,函数
单调递减,
当时,
,函数
单调递增.
综上,若时,
在
上单调递增;
若时,函数
在
内单调递减,在区间
内单调递增;
当时,函数
在区间
内单调递增,在区间
内单调递减,
(2)由题可知,原命题等价于方程在
上有解,
由于,所以
不是方程的解,
所以原方程等价于,令
,
因为对于
恒成立,
所以在
和
内单调递增.
又,
所以直线与曲线
的交点有两个,
且两交点的横坐标分别在区间和
内,
所以整数的所有值为-3,1.
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