Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=3a_n+2（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=3a_n+2（n∈N^*）变形可知a_n+1+1=3（a_n+1），进而即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=n3ⁿ-n，进而T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$，利用错位相减法计算可知Q_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ=（$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$）•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=3a_n+2（n∈N^*），
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
又∵a₁+1=2+1=3，
∴数列{a_n+1}是以首项、公比均为3的等比数列；
（2）解：由（1）可知：a_n+1=3ⁿ，
∴b_n=na_n=n（3ⁿ-1）=n3ⁿ-n，
∴T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ-（1+2+3+…+n）
=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$，
记Q_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
则$\frac{1}{3}$Q_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+（n-1）•3^n-2+n•3^n-1，
两式相减得：-$\frac{2}{3}$Q_n=3⁰+3¹+3²+…+3^n-2+3^n-1-n•3ⁿ
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3ⁿ
=（$\frac{1}{2}$-n）•3ⁿ-$\frac{1}{2}$，
∴Q_n=-$\frac{3}{2}$[（$\frac{1}{2}$-n）•3ⁿ-$\frac{1}{2}$]=（$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$）•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$，
∴T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$
=（$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$）•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查等比数列的判定，考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．