题目内容
设a,b,c为任意三角形三边长，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证：I2＜4S.
证明略
证明 由I2=（a+b+c）2
=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=a2+b2+c2+2S,
∵a,b,c为任意三角形三边长，
∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,
∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)
即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0
∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0
∴a2+b2+c2＜2S
∴a2+b2+c2+2S＜4S.
∴I2＜4S.
=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=a2+b2+c2+2S,
∵a,b,c为任意三角形三边长，
∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,
∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)
即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0
∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0
∴a2+b2+c2＜2S
∴a2+b2+c2+2S＜4S.
∴I2＜4S.
练习册系列答案
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求证：
过抛物线
的焦点，并且与抛物线相交于
和
两点
.求证：对于此抛物线的任意给定的一条弦
，直线
求证：
（x∈R），
为正整数，且
与
皆为完全平方数，对于以下两个命题：
必为合数；（乙）.
必为两个平方数的和.
为实数时，则实数
的值是_________．
(a+b+c)r,将这一结论类比到空间，有：