已知两点M.平面上动点P满足|$\overrightarrow{MN}$|•|$\overrightarrow{MP}$|+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NP}$=0(1)求动点P的轨迹C的方程．(2)如果直线x+my+4=0与曲线C交于A.B两点.那么在曲线C上是否存在点D.使得△ABD是以AB为斜边的直角三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知两点M（2，0）、N（-2，0），平面上动点P满足|$\overrightarrow{MN}$|•|$\overrightarrow{MP}$|+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NP}$=0
（1）求动点P的轨迹C的方程．
（2）如果直线x+my+4=0（m∈R）与曲线C交于A、B两点，那么在曲线C上是否存在点D，使得△ABD是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

分析（1）设P（x，y），由|$\overrightarrow{MN}$|•|$\overrightarrow{MP}$|+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NP}$=0，得4$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$+（-4x-8）=0，由此能求出点P的轨迹C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将x=4-my，代入C的方程，得y²+8my-32=0，y₁+y₂=-8m，y₁y₂=-32，设存在D（$\frac{{t}^{2}}{8}$，t），则$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=0，即可得出结论．

解答解：（1）设P（x，y），
∵M（2，0）、N（-2，0），平面上动点P（x，y）满足|$\overrightarrow{MN}$|•|$\overrightarrow{MP}$|+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NP}$=0，
∴4$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$+（-4x-8）=0，
∴y²=8x，
∴动点P的轨迹C的方程为y²=8x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将x=4-my，代入C的方程，得y²=32-8my，
即y²+8my+32=0，△=64m²-128＞0，∴m＜-$\sqrt{2}$或m$＞\sqrt{2}$．
∴y₁+y₂=-8m，y₁y₂=-32，
设存在D（$\frac{{t}^{2}}{8}$，t），则$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}$=0，
∴（x₁-$\frac{{t}^{2}}{8}$）（x₂-$\frac{{t}^{2}}{8}$）+（y₁-t）（y₂-t）=0，
代入整理可得t²-8mt+96=0，
∴64m²-384≥0，
∴m$≤-\sqrt{6}$或m$≥\sqrt{6}$
∴m$≤-\sqrt{6}$或m$≥\sqrt{6}$，存在点D，使得△ABD是以AB为斜边的直角三角形．

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