题目内容
6.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若2b=a+c,且B=$\frac{π}{4}$,则cosA-cosC的值为( )A. | $\sqrt{2}$ | B. | $±\sqrt{2}$ | C. | $\root{4}{2}$ | D. | ±$\root{4}{2}$ |
分析 通过a、b、c成等差数列以及正弦定理得到关系式,利用和差化积,二倍角公式以及三角形的内角和,推出cos $\frac{A-C}{2}$=2sin $\frac{B}{2}$,求出sin $\frac{A-C}{2}$,利用和差化积化简cosA-cosC,代入B,即可求出结果.
解答 解:∵2b=a+c;
据正弦定理有:a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;
代入2b=a+c,化简,得:2sinB=sinA+sinC=2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=2sin$\frac{π-B}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=2cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{A-C}{2}$=4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$;
∵cos$\frac{A-C}{2}$=2sin$\frac{B}{2}$;sin$\frac{A-C}{2}$=±$\sqrt{1-4{sin}^{2}\frac{B}{2}}$=±$\sqrt{1-2(1-cosB)}$=±$\sqrt{2cosB-1}$,
∴cosA-cosC=-2sin$\frac{A+C}{2}$sin$\frac{A-C}{2}$
=±2cos$\frac{B}{2}$
=±$\sqrt{2(1+cosB)(2cosB-1)}$
=±$\sqrt{4cosB-2+4{cos}^{2}B-2cosB}$
=±$\sqrt{2cosB-2+4{cos}^{2}B}$
=±$\sqrt{\sqrt{2}-2+2}$=±$\root{4}{2}$;
故选:D.
点评 此题考查了正弦定理,积化和差公式,等差数列的性质,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
A. | 2450 | B. | 2550 | C. | 4900 | D. | 5050 |
A. | $\frac{8}{9}$ | B. | $\frac{9}{10}$ | C. | $\frac{10}{11}$ | D. | $\frac{9}{8}$ |
A. | {x|x>1} | B. | {x|x<3} | C. | {x|1<x<3} | D. | {x|-1<x<1} |