题目内容
4.已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y-3)2=1相切,则双曲线的离心率为( )A. | 2 | B. | $\sqrt{3}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | 3 |
分析 利用圆心(0,3)到双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线bx±ay=0的距离等于半径1,可求得a,b之间的关系,从而可求得双曲线离心率.
解答 解:∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0,
依题意,直线bx±ay=0与圆x2+(y-2)2=1相切,
设圆心(0,2)到直线bx±ay=0的距离为d,
则d=$\frac{3a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{3a}{c}$=1,
∴双曲线离心率e=$\frac{c}{a}$=3.
故选:D.
点评 本题考查双曲线的简单性质,考查点到直线间的距离,考查分析、运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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