Question

【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费和年销售量的数据作了初步统计，得到如下数据：

年份	2011	2012	2013	2014	2015	2016
年宣传费（万元）	38	48	58	68	78	88
年销售量（吨）	16．8	18．8	20．7	22．4	24．0	25．5

经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式即。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：

75．3	24．6	18．3	101．4

（1）根据所给数据，求关于的回归方程；

（2）规定当产品的年销售量（吨）与年宣传费（万元）的比值在区间内时认为该年效益良好。现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好年的数量为，试求随机变量的分布列和期望。（其中为自然对数的底数， ）

附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为

Answer 1

【答案】(1) ；(2)见解析.

【解析】【试题分析】（1）先运用转化的思想对两边取对数得，再换元令

得，借助题设中给的数据，求得： ， 进而算得

， ，于是

， ，得，故所求回归方程为。

（2）先借助题设条件，于是求出，即6年中有三年是“效益良好年”， 求得， ，从而求出分布列和数学期望。

解：（1）对两边取对数得，令

得，由题给数据，得： ， 2分

， ，于是

， ，得，故所求回归方程为。

（2）由，于是，即6年中有三年是“效益良好年”， ，由题得，

所以 的分布列如表所示，且 。