Question

【题目】已知函数φ(x)＝，a为正常数．

(Ⅰ)若f(x)＝ln x＋φ(x)，且a＝4，讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)若g(x)＝|ln x|＋φ(x)，且对任意x1，x2∈(0，2]，x1≠x2都有

(ⅰ)求实数a的取值范围；

(ⅱ)求证：当x∈(0，2]时，

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) (ⅰ) ； (ⅱ)见解析.

【解析】试题分析：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）>0求得的区间是单调增区间，f′（x）<0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2]上是减函数．(ⅰ)下面对x分类讨论：①当1≤x≤2时，②当0<x<1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a的取值范围．

(ⅱ) h(x)在(0，2]上是减函数，所以h(x)≥h(2)，即g(x)＋x≥ln 2＋＋2，由a的范围放缩得：g(x)≥ln 2＋＋2－x，进而构造函数T(x)＝ln 2＋＋2－x，利用单调性即可证得.

试题解析：

(Ⅰ)当a＝4时，f(x)＝ln x＋，定义域为(0，＋∞)，

又f′(x)＝－＝≥0，

所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

(Ⅱ)因为<－1，

所以＋1<0， <0 .

设h(x)＝g(x)＋x，依题意，h(x)在(0，2]上是减函数，h′(x)≤0恒成立．

(ⅰ)①当1≤x≤2时，h(x)＝ln x＋＋x，h′(x)＝－＋1≤0.

从而，a≥＋(x＋1)2＝x2＋3x＋＋3对x∈[1，2]恒成立．

设m(x)＝x2＋3x＋＋3，x∈[1，2]，则m′(x)＝2x＋3－>0.

所以m(x)在[1，2]上是增函数，则当x＝2时，m(x)有最大值为，所以a≥.

②当0<x<1时，h(x)＝－ln x＋＋x，h′(x)＝－－＋1≤0.

从而，a≥－＋(x＋1)2＝x2＋x－－1.

设t(x)＝x2＋x－－1，则t′(x)＝2x＋1＋>0，

所以t(x)在(0，1)上是增函数．所以t(x)<t(1)＝0，所以a≥0.

综合①②，又因为h(x)在(0，2]上图形是连续不断的，所以a≥.

(ⅱ)因为h(x)在(0，2]上是减函数，所以h(x)≥h(2)，即g(x)＋x≥ln 2＋＋2.

由(ⅰ)得，a≥，∴g(x)＋x≥ln 2＋＋2≥ln 2＋＋2，

∴g(x)＋x≥ln 2＋＋2，当且仅当x＝2时等号成立．

从而g(x)≥ln 2＋＋2－x.

令T(x)＝ln 2＋＋2－x，则T(x)在(0，2]上单调递减．

∴T(x)≥T(2)＝ln 2＋.

∴T(x)≥ln 2＋.