Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）当时，函数的增区间为， ，减区间为；

当时，函数的增区间为， ，减区间为；

当时，函数的增区间为，无减区间；（3）.

【解析】试题分析：(Ⅰ) 求出，可得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（Ⅱ）讨论三种情况，分别令得增区间， 得减区间； （Ⅲ）对于任意，都有成立等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，进而可得结果.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为.

当时， ， ，

,．

所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）因为．

令，即，解得或.

（1）当，即时，

由，得或；

由，得.

所以函数的增区间为， ，减区间为.

（2）当，即时，

由，得或；

由，得.

所以函数的增区间为， ，减区间为.

（3）当，即时， 在上恒成立，

所以函数的增区间为，无减区间.

综上所述：

当时，函数的增区间为， ，减区间为；

当时，函数的增区间为， ，减区间为；

当时，函数的增区间为，无减区间.

（Ⅲ）因为对于任意，都有成立，

则，等价于.

令，则当时， .

.

因为当时， ，所以在上单调递增.

所以.

所以.

所以.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.