题目内容

【题目】已知数列{an}满足:,且an+1n=12…)集合M={an|}中的最小元素记为m.

1)若a1=20,写出ma10的值:

2)若m为偶数,证明:集合M的所有元素都是偶数;

3)证明:当且仅当时,集合M是有限集.

【答案】1622;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【解析】

1)利用递推公式依次求出数列的前10项,推导出集合中的最小元素

2)推导出,当时,,由为偶数,得到为偶数,为偶数,由此能证明若为偶数,则集合的所有元素都是偶数.

3)推导出,当时,.从而集合.由此能证明当且仅当时,集合是有限集.

因为数列满足:,且

集合中的最小元素记为

所以

所以集合中的最小元素

2)证明:因为数列满足:,且

集合中的最小元素为偶数.

所以,当时,

因为为偶数,为偶数,为偶数,

所以为偶数,则集合的所有元素都是偶数.

3)证明:因为数列满足:,且

集合中的最小元素为偶数.当且仅当

所以时,

集合

所以,当且仅当时,集合是有限集.

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