题目内容

【题目】已知定点,动点轴上运动,过点作直线轴于点,延长至点,使的轨迹是曲线

1)求曲线的方程;

2)若是曲线上的两个动点,满足,证明:直线过定点;

3)若直线与曲线交于两点,且,求直线的斜率的取值范围.

【答案】(1) (2) 直线过定点(3)

【解析】

(1)设出动点,则的坐标可表示出,利用,可求得的关系式,即的轨迹方程.

(2)设直线 ,联立直线与(1)中所得抛物线的方程,利用韦达定理表示,进而求得即可.

(3)设出直线的方程,A,B的坐标,根据推断出,把直线与抛物线方程联立消去求得的表达式,进而求得,利用弦长公式表示出,再根据的范围,求得的范围.

(1)设动点,则,,

,即,化简得.

(2)设直线 ,联立.

,,.

,故由题有,.

由题意可知,.故直线 ,恒过定点.

(3)设直线方程为,与抛物线交于点,

则由,得,即,

,解得,

,

,

恒成立,

.

由题意,,

可得,

,

因为,故

解得,

.

即所求的取值范围是.

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