Question

15．已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．且bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求$\frac{2sin（B+\frac{π}{4}）sin（A+C+\frac{π}{4}）}{1-cos2B}$的值；
（2）若b=2，求△ABC的面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦定理、诱导公式求得cosB=$\frac{1}{2}$，可得B的值，从而利用积化和差公式求得要求式子的值．
（2）利用余弦定理求得ac≤4，可得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ac•sinB 的范围．

解答 解：（1）△ABC中，∵bcosC=（2a-c）cosB，
由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．
∴2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，
化为：2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC，∴2sinA•cosB=sin（B+C）．
∵在△ABC中，sin（B+C）=sinA，
∴2sinA•cosB=sinA，得：cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$．
故$\frac{2sin（B+\frac{π}{4}）sin（A+C+\frac{π}{4}）}{1-cos2B}$=$\frac{2sin\frac{7π}{12}•sin\frac{11π}{12}}{1-cos\frac{2π}{3}}$=$\frac{cos\frac{π}{3}-cos\frac{3π}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$．
（2）b=2，则由余弦定理可得b²=4=a²+c²-2ac•cosB≥2ac-ac=ac，∴ac≤4，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$ac•sinB≤$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，故S∈（0，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．