题目内容
一个半径为1的小球在一个内壁棱长为
的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．
的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．
如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为
，作平面
//平面
，与小球相切于点
，则小球球心
为正四面体
的中心，
，垂足
为的中心．
因
，
故
，从而
．
记此时小球与面
的切点为
，连接
，则
．
考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为
，如答12图2．记正四面体
的棱长为
，过作
于
．
因
，有
，故小三角形的边长
．
小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）
．
又
，
，所以
．
由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为
．
，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因
，故
，从而．记此时小球与面
的切点为，连接，则．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为
)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体的棱长为
，过作于．因
，有，故小三角形的边长．小球与面
不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）． 又
，，所以．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为
． 
练习册系列答案
相关题目
是一个棱长为1的正方体，
是底面
的中心，
是棱
上的点，且
，则四面体
的体积为 ( )
中，
，将三角形绕直角边
旋转一周所成
中，
是上底面
中心，若正方体的棱长为
，则三棱锥
的体积为_____________。
，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。
中，
、
分别是棱
、
的中点，且
，若侧棱
，则正三棱锥