Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0 ， y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若 ＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1时，f′（x）=2x﹣3+ = ，

当f′（x）＞0时，0＜x＜ ，或x＞1，

当f′（x）＜0时， ＜x＜1，

∴f（x）在（0， ）和（1，+∞）递增，在（ ，1）递减；

∴x= 时，f（x）极大值=﹣ +ln ，

x=1时，f（x）极小值=﹣2

（2）解：a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程，

得h（x）=（2x0+ ﹣10）（x﹣x0）+ ﹣10x0+8lnx0，

设F（x）=f（x）﹣h（x）=，则F（x0）=0，

F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+ ﹣10）﹣（2x0+ ﹣10）

= （x﹣x0）（x﹣ ）；

当0＜x0＜2时，F（x）在（x0， ）上递减，

∴x∈（x0， ）时，F（x）＜F（x0）=0，此时 ＜0，

x0＞2时，F（x）在（ ，x0）上递减；

∴x∈（ ，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时 ＜0，

∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“转点”，

x0=2时，F′（x）= （x﹣2）2，即F（x）在（0，+∞）上是增函数；

x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，

即点P（x0，f（x0））为“转点”，

故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标．

【解析】（1）将a=1代入函数表达式，求出导函数得到单调区间从而求出函数的极值；（2）a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x0 ， f（x0））处的切线方程，得h（x）=（2x0+ ﹣10）（x﹣x0）+ ﹣10x0+8lnx0 ， 设F（x）=f（x）﹣h（x）=，则F（x0）=0，F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+ ﹣10）﹣（2x0+ ﹣10）= （x﹣x0）（x﹣ ）；分别讨论当0＜x0＜2，x0=2，x0＞2时的情况，从而得出结论．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．