题目内容
【题目】已知函数
， 
（
， 
为自然对数的底数）.
（1）试讨论函数
的极值情况；
（2）证明：当
且
时，总有
.
【答案】（1）见解析;（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）求
定义域内的所有根；判断
的根
左右两侧值的符号即可得结果；（2）当
时， 
，研究函数的单调性，两次求导，可证明
在
内为单调递增函数，进而可得当
时， 
，即可得结果.
试题解析：（1）
的定义域为
，
.
①当
时， 
，故
在
内单调递减， 
无极值；
②当
时，令
，得
；令
，得
.
故
在
处取得极大值，且极大值为
， 
无极小值.
（2）证法一：当
时， 
.
设函数
，
则
.记
，
则
.
当
变化时， 
， 
的变化情况如下表：
由上表可知
，
而
，
由
，知
，
所以
，
所以
，即
.
所以
在
内为单调递增函数.
所以当
时， 
.
即当
且
时， 
.
所以当
且
时，总有
.
证法二：当
时， 
.
因为
且
，故只需证
.
当
时， 
成立；
当
时， 
，即证
.
令
，则由
，得
.
在
内， 
；
在
内， 
，
所以
.
故当
时， 
成立.
综上得原不等式成立.
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