题目内容
【题目】已知函数,
(
,
为自然对数的底数).
(1)试讨论函数的极值情况;
(2)证明:当且
时,总有
.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)求定义域内的所有根;判断
的根
左右两侧值的符号即可得结果;(2)当
时,
,研究函数的单调性,两次求导,可证明
在
内为单调递增函数,进而可得当
时,
,即可得结果.
试题解析:(1)的定义域为
,
.
①当时,
,故
在
内单调递减,
无极值;
②当时,令
,得
;令
,得
.
故在
处取得极大值,且极大值为
,
无极小值.
(2)证法一:当时,
.
设函数
,
则.记
,
则.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
由上表可知,
而
,
由,知
,
所以,
所以,即
.
所以在
内为单调递增函数.
所以当时,
.
即当且
时,
.
所以当且
时,总有
.
证法二:当时,
.
因为且
,故只需证
.
当时,
成立;
当时,
,即证
.
令,则由
,得
.
在内,
;
在内,
,
所以.
故当时,
成立.
综上得原不等式成立.
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