题目内容
已知函数,其中
.
(1)若对一切恒成立,求
的取值范围;
(2)在函数的图像上取定两点
,记直线
的斜率为
,证明:存在
,使
成立.
(1)
(2)由题意可得
令则
令。
解析试题分析:(1),令
当时
单调递减;当
时,
单调递增
∴当时,
有最小值
于是对于一切,
恒成立,当且仅当
①
令,则
当时,
取最大值1,当且仅当
时,①式成立
综上所述的取值的集合为
(2)由题意可得
令则
令
当时
单调递减;当
时,
单调递增。故当
时,
即
,
,又
,
所以
所以存在,使
考点:利用导数研究函数的极值,不等式恒成立问题。
点评:典型题,在给定区间,导数非负,函数为增函数,导数非正,函数为减函数。求函数的极值问题,基本步骤是“求导数、求驻点、研究单调性、求极值”。“恒成立问题”往往通过构造函数,研究函数的最值,使问题得到解答。

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