题目内容
【题目】古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个正方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍，倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决，首先作一个通径为
（其中正数
为原立方体的棱长）的抛物线
，如图，再作一个顶点与抛物线
顶点
重合而对称轴垂直的抛物线
，且与
交于不同于点
的一点
，自点
向抛物线
的对称轴作垂线，垂足为
，可使以
为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线
的标准方程；
（2）为使以
为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍，求抛物线
的标准方程（只须以一个开口方向为例）.
【答案】（1）（
2）
【解析】试题分析：
(1)以
为原点， 
为
轴正向建立平面直角坐标系，结合抛物线的性质可得抛物线
的标准方程为
.
(2)不妨设焦点位于y轴正半轴，结合题意计算可得抛物线方程为
.
试题解析：
（1）以
为原点， 
为
轴正向建立平面直角坐标系，
由题意，抛物线
的通径为
，所以标准方程为
.
（2）设抛物线
，
又由题意， 
，所以
，代入
，
得： 
，解得： 
所以点
代入
得： 
，解得： 
所以抛物线
为： 
.
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