Question

【题目】已知数列，的首项，且满足，，其中，设数列，的前项和分别为，．

（Ⅰ）若不等式对一切恒成立，求．

（Ⅱ）若常数且对任意的，恒有，求的值．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下且同时满足以下两个条件：

（ⅰ）若存在唯一正整数的值满足；

（ⅱ）恒成立．试问：是否存在正整数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在正整数，使得，此时，或者．

【解析】分析：（1）根据可得是公差的等差数列，代入等差数列的求和公式即可得出；（2）用表示出和，根据的范围及恒等式得出，可得，从而可得结果；（3）利用条件可得，的通项，求出，，因为，所以，令，则，解之得，，故满足的值为，，，根据分类讨论思想可得出的存在性.

详解：（Ⅰ）由题设数列的首项，公差为，则，

（Ⅱ）因为，，所以，

，故，又因为，

得，所以，

因为，

所以，所以，

故．

（Ⅲ）因为，所以或者，

若时，舍去，

若时，，故，

而，因为，所以，令，则，解之得，，故满足的值为，，，

①当，若，则数列前为：，，，满足，

若，则数列前项为：，，，不满足舍去；

若，则数列前项为：，，，不满足舍去；

若，则数列前项为：，，，不满足舍去；

②当若，则数列前项为：，，不满足；

若，则数列前项为：，，不满足舍去；

③当，若，则数列前项为：，满足；

若，则数列前项为：，不满足舍去；

所以存在正整数，使得，此时，或者．