题目内容
【题目】函数f（x）=
x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. [﹣
，+∞） B. （﹣∞，﹣3]∪[﹣，+∞）
C. （﹣∞，﹣3] D. [﹣，]
【答案】C
【解析】
求导函数，f（x）在[1，3]上为单调函数，则f′（x）≤0在[1，3]上恒成立，利用分离参数法，借助于导数，确定函数的最值，即可求实数a的取值范围．
求导数可得：f′（x）=x2+2ax+5
∵f（x）在[1，3]上为单调函数，∴f′（x）≤0在[1，3]上恒成立．
令f′（x）=0，即x2+2ax+5=0，则a=
设g（x）=，则g′（x）=
令g′（x）=0得：x=
或x=﹣（舍去）
∴当1≤x≤时，g′（x）≥0，当≤x≤3时，g′（x）≤0
∴g（x）在（1，）上递增，在（，3）上递减，
∵g（1）=﹣3 g（3）=﹣
，g（）=﹣
∴g（x）的最大值为g（）=﹣，最小值为g（1）=﹣3
∴当f′（x）≤0时，a≤g（x）≤g（1）=﹣3
∴a≤﹣3
故选：C．
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