题目内容

【题目】设函数f(x)=﹣2cosx﹣x+(x+1)ln(x+1),g(x)=k(x2+ ).其中k≠0.
(1)讨论函数g(x)的单调区间;
(2)若存在x1∈(﹣1,1],对任意x2∈( ,2],使得f(x1)﹣g(x2)<k﹣6成立,求k的取值范围.

【答案】
(1)解:g′(x)=2kx﹣ =

当k>0时,令g′(x)>0,得x>1,∴g(x)的递增区间为(1,+∞).

令g′(x)<0,得x<1,x≠0,∴g(x)的递减区间为(﹣∞,0),(0,1).

k<0时,同理得g(x)的递增区间为(﹣∞,0),(0,1);递减区间为(1,+∞)


(2)解:f′(x)=2sinx﹣1+ln(x+1)+1=2sinx+ln(x+1),

∵当x∈(﹣1,1]时,y=2sinx及y=ln(x+1)均为增函数,

∴f′(x)在(﹣1,1]为增函数,又f′(0)=0,

∴当x∈(﹣1,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,1]时,f′(x)>0,

从而,f(x)在(﹣1,0)上递减,在(0,1]上递增,

∴f(x)在(﹣1,1]上的最小值为f(0)=﹣2.

∵f(x1)﹣g(x2)<k﹣6,∴f(x1)<k﹣6+g(x2),

∴f(x)min<k﹣6+g(x)min,当k>0时,∴g(x)min=g(1)=3k,

∴4k﹣6>﹣2,∴k>1,

当k<0时,g(x)min=g(2)=5k,∴6k﹣6>﹣2,∴k>

又k<0,∴k<0时不合题意.

综上,k∈(1,+∞).


【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论k的范围,求出函数的单调区间即可;(2)求出函数的导数,问题转化为f(x)min<k﹣6+g(x)min , 通过讨论k的范围,结合函数的单调性,确定k的具体范围即可.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值即可以解答此题.

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