Question

【题目】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.

(1)当a＝－1时，求f(x)的单调递增区间.

(2)当0<－<e时，若f(x)在区间(0，e)上的最大值为－3，求a的值.

(3)当a＝－1时，试推断方程|f(x)|＝是否有实数根.

Answer 1

【答案】(1)(0，1).(2) .(3)方程没有实数根.

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析可得导函数符号，即得f(x)的单调递增区间.（2）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析可得导函数符号，即得f(x)的单调性，最后根据单调性确定函数最大值，由最大值为-3解方程可得a的值.（3）先根据（1）得|f(x)|最小值为1，再利用导数研究单调性并确定最大值，且小于1，因此两函数无交点

试题解析：(1)由已知可知函数f(x)的定义域为{x|x>0}，

当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x(x>0)，f′(x)＝(x>0)；

当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.

所以f(x)的单调递增区间为(0，1).

(2)因为f′(x)＝a＋(x>0)，令f′(x)＝0，解得x＝－；

由f′(x)>0，解得0<x<－；由f′(x)<0，解得－<x<e.

从而f(x)的单调递增区间为，递减区间为，

所以，f(x)max＝f＝－1＋ln＝－3.

解得a＝－e2.

(3)由(1)知当a＝－1时，f(x)max＝f(1)＝－1，

所以|f(x)|≥1.

令g(x)＝＋，则g′(x)＝.

当0<x<e时，g′(x)>0；

当x>e时，g′(x)<0.

从而g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.

所以g(x)max＝g(e)＝＋<1，

所以，|f(x)|>g(x)，即|f(x)|>＋，

所以，方程|f(x)|＝＋没有实数根.