题目内容
【题目】已知函数.
(I)若曲线存在斜率为-1的切线,求实数a的取值范围;
(II)求的单调区间;
(III)设函数,求证:当
时,
在
上存在极小值.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)答案见解析;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)求出函数的导数,问题转化为存在大于
的实数根,根据
在
时递增,求出
的范围即可;
(2)求出函数的导数,通过讨论的范围,判断导数的符号,求出函数的单调区间即可;
(3)求出函数,根据
,得到存在
,满足
,从而让得到函数单调区间,求出函数的极小值,证处结论即可.
试题解析:
(I)由得
.
由已知曲线存在斜率为-1的切线,所以
存在大于零的实数根,
即存在大于零的实数根,因为
在
时单调递增,
所以实数a的取值范围.
(II)由可得
当时,
,所以函数
的增区间为
;
当时,若
,
,若
,
,
所以此时函数的增区间为
,减区间为
.
(III)由及题设得
,
由可得
,由(II)可知函数
在
上递增,
所以,取
,显然
,
,所以存在
满足
,即存在
满足
,所以
,
在区间(1,+∞)上的情况如下:
- 0 +
↘ 极小 ↗
所以当-1<a<0时,g(x)在(1,+∞)上存在极小值.
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