题目内容
19．已知斜率为1的直线过椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1的焦点，且与椭圆交于A，B两点，则线段AB的长是$\frac{8}{5}$．分析 不妨设直线l方程：y=x-$\sqrt{3}$，并与椭圆方程联立，利用韦达定理、两点间距离公式计算即得结论．
解答 解：根据题意可知c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
不妨设直线l过右焦点，则l：y=x-$\sqrt{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y整理得：5x2-8$\sqrt{3}$x+8=0，
∴xA+xB=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，xAxB=$\frac{8}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{y}_{A}-{y}_{B}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+[（{x}_{A}-\sqrt{3}）-（{x}_{B}-\sqrt{3}）]^{2}}$
=$\sqrt{2[（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}]}$
=$\sqrt{2•[（\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-4•\frac{8}{5}]}$
=$\frac{8}{5}$．
点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，两同心圆（圆心在原点）分别与OA、OB交于A、B两点，其中A（$\sqrt{2}$，1），|OB|=$\sqrt{6}$，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为$\frac{π}{2}$．
10．已知a、b、m∈R+且a＞b，则（ ）
| A． | $\frac{a}{b}$＞$\frac{a+m}{b+m}$ | B． | $\frac{a}{b}$=$\frac{a+m}{b+m}$ | ||
| C． | $\frac{a}{b}$＜$\frac{a+m}{b+m}$ | D． | $\frac{a}{b}$与$\frac{a+m}{b+m}$间的大小不能确定 |
9．已知△ABC中，∠A=$\frac{π}{6}$，AB=3$\sqrt{3}$，AC=3，在线段BC上任取一点P，则线段PB的长大于2的概率为（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{3}{5}$ |