Question

【题目】已知正整数，设长方形的边长，，边、、上的点，…，，，…，，，，，…，分别满足，， ．

（1）对于，2，…，，求与、与的交点所在的二次曲线的方程；

（2）若的延长线上的点，，…，满足，对于，2，…，，求与的交点所在的二次曲线的方程；

（3）设在二次曲线上到的距离最大的点为，求与二次曲线上的点的距离的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）以下底为轴、的中垂线为轴建立平面直角坐标系．

设、交于点，、在上的投影分别为、，并设．

由∽，∽，

有，．

两式相乘得点满足的二次曲线的方程为．

（2）同理，、的交点也在椭圆上．

设、交于点，、在直线上的投影分别为、，并设．

由∽，∽，

有，．

两式相乘得点满足的二次曲线的方程为．

（3）不妨设．

考虑以为圆心、为半径的圆，与相切时的半径即为所求的最小值．

设的方程为，与的方程联立并消去，得

．

由，得．

因此，所求最小值为．