Question

14．设x∈[0，1]，则函数y=x$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 运用基本不等式，先求x²（1-x²）的最大值，注意等号成立的条件，即可得到所求函数的最大值．

解答 解：由x∈[0，1]，则函数y=x$\sqrt{1-{x}^{2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}（1-{x}^{2}）}$，
由于x²，1-x²∈[0，1]，则x²（1-x²）≤$\frac{1}{4}$（x²+1-x²）²=$\frac{1}{4}$，
当且仅当x²=1-x²，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取得最大值．
即有y≤$\frac{1}{2}$，
当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等的条件，考查运算能力，属于基础题．