题目内容
【题目】如图,已知正方形和矩形
所在的平面互相垂直,
,
,
是线段
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若,求二面角
的大小;
(3)若线段上总存在一点
,使得
,求
的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)设,连结
,
,通过证明
为平行四边形得
,或者建立空间直角坐标系,利用向量证明平行;
(2)建立空间直角坐标系,利用向量方法分别求出两个半平面的法向量的夹角即可得到二面角的大小;
(3)根据向量的坐标表示,得
恒有解即可求出
的范围.
解:(1)法一:设,连结
,
,
因为矩形中
是线段
的中点,
是线段
的中点,
所以,
,所以
为平行四边形,
故,
又平面
,
平面
,
所以平面
;
法二:由题意,正方形和矩形
所在的平面互相垂直,
因为平面平面
,
,所以
平面
,
以为
轴,
为
轴,
为
轴,建立如图所示空间直角坐标系,
因为,
,
是线段
的中点,
则,
,
,
,
,
,
从而,
,
,
,
设平面的法向量为
,则由
,可知
,
不妨令,则
,
,从而平面
的一个法向量为
,
计算可知,又
平面
,
所以,从而
平面
.
(2)若,则
,
,
平面的一个法向量为
,
设平面的法向量为
,则由
,可知
,
不妨令,则
,
,
从而平面的一个法向量为
,
设二面角的平面角为
,
因为为锐角,所以
,
所以二面角的大小为
.
(3)因为点在线段
上,而
,
设,其中
,
则,从而
点坐标为
,
于是,而
,
则由可知
,即
,
所以,解得
,故
的最大值为
.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战,某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫,坚持扶贫同扶智相结合,此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式,现对两种生产方式的产品质量进行对比,其质量按测试指标可划分为:指标在区间的为优等品;指标在区间
的为合格品,现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中,各自随机抽取100件作为样本进行检测,测试指标结果的频数分布表如下:
甲种生产方式:
指标区间 | ||||||
频数 | 5 | 15 | 20 | 30 | 15 | 15 |
乙种生产方式:
指标区间 | ||||||
频数 | 5 | 15 | 20 | 30 | 20 | 10 |
(1)在用甲种方式生产的产品中,按合格品与优等品用分层抽样方式,随机抽出5件产品,①求这5件产品中,优等品和合格品各多少件;②再从这5件产品中,随机抽出2件,求这2件中恰有1件是优等品的概率;
(2)所加工生产的农产品,若是优等品每件可售55元,若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元,乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下,该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫?
【题目】2018年非洲猪瘟在东北三省出现,为了进行防控,某地生物医药公司派出技术人员对当地一养猪场提供技术服务,收费标准是:每天公司收取养猪场技术服务费120元,当天若需要用药的猪不超过45头,不另外收费,若需要用药的猪超过45头,超过部分每头收取药费8元.
(1)设医药公司日收费为(单位:元),每天需要用药的猪的数量为
(单位:头),
,试写出医药公司日收取的费用
关于
的函数关系式;
(2)若该医药公司从10月1日起对该养猪场提供技术服务,10月31日该养猪场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计,得到如下列联表.
9月份 | 10月份 | 合计 | |
未发病 | 40 | 85 | 125 |
发病 | 65 | 20 | 85 |
合计 | 105 | 105 | 210 |
根据以上列联表,判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关?
附:,其中
.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |