Question

15．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，PD=CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，∠ADC=120°
（1）求异面直线AD，PB的所成角；
（2）若AB的中点为E，求二面角D-PC-E的大小．

Answer 1

分析 （1）取AE中点F，以D为原点，DF为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD，PB的所成角．
（2）分别求出平面PCE的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角D-PC-E的大小．

解答 解：（1）取AE中点F，连结AF，DE，
∵四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，PD=CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，∠ADC=120°，
∴以D为原点，DF为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PD=CD=AD=$\frac{1}{2}$AB=2，
则A（$\sqrt{3}$，-1，0），D（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，3，0），P（0，0，2），
$\overrightarrow{DA}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，3，-2$），
cos＜$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{DA}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{3-3+0}{\sqrt{4}•\sqrt{16}}$=0，
∴异面直线AD，PB的所成角为90°．
（2）E（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{PE}$=（$\sqrt{3}，1，-2$），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），
设平面PCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=\sqrt{3}x+y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设面角D-PC-E的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{1+1+\frac{1}{3}}}$|=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角D-PC-E的大小为arccos$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查两条异面直线所成角和二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．