Question

3．已知函数f（x）=|x|-1，若关于x的方程f²（x）+（2m-1）f（x）+4-2m=0有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m＜-2
• B． m＜-2.5
• C． m＜1.5
• D． m＞1.5

Answer 1

分析 令t=f（x）=|x|-1≥-1，则由题意可得，关于t的方程t²+（2m-1）t+4-2m=0有2个大于-1的实数根．令g（t）=t²+（2m-1）t+4-2m，则g（t）2个大于-1的零点．再利用二次函数的性质求得m的范围．

解答 解：令t=f（x）=|x|-1≥-1，则由题意可得，关于t的方程t²+（2m-1）t+4-2m=0有2个大于-1的实数根．
令g（t）=t²+（2m-1）t+4-2m，则g（t）有2个大于-1的零点．
故有$\left\{\begin{array}{l}{△{=（2m-1）}^{2}-4（4-2m）＞0}\\{-\frac{2m-1}{2}＞-1}\\{g（-1）=6-4m＞0}\end{array}\right.$，求得m＜-2.5，
故选：B．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．