Question

5．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱B₁C₁的中点，动点P为正方体各面上的任一点．
①若动点P是AD的中点，则A₁E∥平面C₁CP；
②若动点P在底面ABCD内，且PA₁=A₁E，则点P运动轨迹为一条线段；
③若动点P是CC₁的中点，则A₁E，DP为异面直线；
④若动点P与C点重合，则平面A₁EP截该正方体所得的截面的形状为菱形．
以上为真命题的序号的是（　　）

• A． ①②
• B． ①④
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 当动点P是AD的中点时，A₁E∥PC，推导出①正确；当PA₁=A₁E时设正方体的棱长为1，求得PA₁=A₁E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AP=$\frac{1}{2}$，从而根据圆的定义以及题中条件得到点P运动形成的图形为圆弧，推导出②错误；当动点P是CC₁的中点时，A₁D∥EP，推导出③错误；动点P与C点重合，平面A₁EP即平面A₁EC截该正方体所得的截面的形状为菱形，推导出④正确．

解答 解：在①中：当动点P是AD的中点时，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱B₁C₁的中点，∴A₁E∥PC，
∵A₁E?平面C₁CP，PC?平面C₁CP，
∴A₁E∥平面C₁CP，故①正确；
在②中：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱B₁C₁的中点，动点P在底面ABCD内，且PA₁=A₁E，设正方体的棱长为1，
则且PA₁=A₁E=$\sqrt{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{E}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AP=$\sqrt{P{{A}_{1}}^{2}-A{{A}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故点P的轨迹是以A为圆心，以$\frac{1}{2}$为半径的圆弧（圆位于底面ABCD内的部分），故②错误；
在③中：当动点P是CC₁的中点时，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱B₁C₁的中点，
∴A₁D∥EP，∴A₁E，DP为共面直线，故③错误；
在④中：动点P与C点重合，
平面A₁EP即平面A₁EC截该正方体所得的截面的形状为菱形，故④正确．
故选：B．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意正方体的结构特征和空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．