Question

10．设函数f（x）=（x²+ax）e^-x，（a∈R）
（1）试判断f（x）在x∈R上能否为单调函数，并说明理由；
（2）若f（x）=2在（0，1）内有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，函数为单调函数，则f′（x）＞0或f′（x）＜0在x∈R恒成立，设g（x）=-x²+（2-a）x+a，通过二次函数的性质得到g（x）＞0或g（x）＜0，问题得以判断；
（2）f（x）=2在（0，1）内有解，转化为a=$\frac{2{e}^{x}}{x}$-x在（0，1）内有解，构造函数h（x）=$\frac{2{e}^{x}}{x}$-x，利用导数求出函数h（x）的值域即可．

解答 解：（1）f′（x）=（2x+a）e^-x-（x²+ax）e^-x=e^-x[-x²+（2-a）x+a]，
∵e^-x＞0恒成立，
设g（x）=-x²+（2-a）x+a，则g（x）开口向下，且△=（2-a）²+4a=（a+2）²≥0，
∴g（x）＞0或g（x）＜0，
∴f′（x）＞0或f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈R上有增有减，
故判断f（x）在x∈R上不为单调函数．
（2）f（x）=（x²+ax）e^-x=2在（0，1）内有解，
∴a=$\frac{2{e}^{x}}{x}$-x在（0，1）内有解，
令h（x）=$\frac{2{e}^{x}}{x}$-x，
∴h′（x）=$\frac{2{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$-1＜0在（0，1）恒成立，
∴h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（1）＜h（x）＜h（0），
即2e-1＜h（x）＜+∞，
∴a＞2e-1，
∴a的取值范围为（2e-1，+∞）

点评 本题主要考查通过求函数的导数来确定函数增减区间的问题，培养了学生的化归能力，运算能力，属于中档题．