题目内容
如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,
BCF=
CEF=
,AD=
,EF=2.
(Ⅰ)求证:AE//平面DCF;
(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为
.




(Ⅰ)求证:AE//平面DCF;
(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为


(1)见解析;(2)
.

由于理科有空间向量的知识,在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用,这为考生选择解题方案提供了方便,但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷,那就是空间向量的运算问题,空间向量有三个分坐标,在进行运算时极易出现错误,而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显,所以在复习立体几何时,不要纯粹以空间向量为解题的工具,要注意综合几何法的应用。(1)只要过点
作
的平行线即可;(2)由于点
是点
在平面
内的射影,只要过点
作
的垂线即可很容易地作出二面角
的平面角,剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系,使用法向量的方法求解。
方法一:(Ⅰ)证明:过点
作
交
于
,连结
,

可得四边形
为矩形,又
为矩形,所以
,从而四边形
为平行四边形,故
.因为
平面
,
平面
,
所以
平面
.………6分
(Ⅱ)解:过点
作
交
的延长线于
,连结
.
由平面
平面
,
,得
平面
,
从而
.所以
为二面角
的平面角.
在
中,因为
,
,
所以
,
.又因为
,所以
,
从而
,于是
,
因为
所以当
为
时,
二面角
的大小为
………12分

方法二:如图,以点
为坐标原点,以
和
分别作为
轴,
轴和
轴,建立空间直角坐标系
.设
,
则
,
,
,
,
.
(Ⅰ)证明:
,
,
,
所以
,
,从而
,
,
所以
平面
.因为
平面
,所以平面
平面
.
故
平面
.………6分
(Ⅱ)解:因为
,
,所以
,
,从而
解得
.所以
,
.设
与平面
垂直,
则
,
,解得
.又因为
平面
,
,所以
,
得到
.所以当
为
时,二面角
的大小为
.………12分








方法一:(Ⅰ)证明:过点






可得四边形









所以


(Ⅱ)解:过点





由平面





从而



在



所以




从而


因为



二面角



方法二:如图,以点








则





(Ⅰ)证明:



所以




所以






故


(Ⅱ)解:因为





解得





则







得到






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