题目内容

如图,四棱锥的底面是矩形,,且侧面是正三角形,平面平面

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)在棱上是否存在一点,使得二面角的大小为45°.若存在,试求的值,若不存在,请说明理由.
(1)见解析;(2)45°.
第一问先利用取中点,由,得,又平面平面,且平面平面,所以平面,然后以为原点,建立空间直角坐标系,结合向量的数量积公式得到证明。
第二问中,假设在棱上存在一点,不妨设
则点的坐标为则得到平面的一个法向量.,
又面的法向量可以是向量的夹角公式,表示出二面角,从而解得。
中点,则由,得,又平面平面,且平面平面,所以平面.以为原点,建立空间直角坐标系(如图).则……………………………2分

(Ⅰ)证明:∵
……………………………………………………………………4分

,即.…………………………………6分
(Ⅱ)假设在棱上存在一点,不妨设

则点的坐标为,……………………………8分

是平面的法向量,则

不妨取,则得到平面的一个法向量.…………………10分
又面的法向量可以是
要使二面角的大小等于45°,
45°=
可解得,即
故在棱上存在点,当时,使得二面角的大小等于45°. ………12分
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