Question

17．若f（x）=2tanx-$\frac{2si{n}^{2}x-1}{sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}$，则f（$\frac{π}{12}$）的值是8．

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用两角差的正切公式求得tan（$\frac{π}{12}$）的值，可得cot（$\frac{π}{12}$）的值，进而求得f（$\frac{π}{12}$）的值．

解答 解：f（x）=2tanx-$\frac{2sin\frac{{x}^{2}}{2}-1}{sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}$=2tanx-$\frac{-cosx}{\frac{1}{2}sinx}$=2tanx+2cotx，
tan（$\frac{π}{12}$）=tan（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tan\frac{π}{3}-tan\frac{π}{4}}{1+tan\frac{π}{3}tan\frac{π}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$，∴cot$\frac{π}{12}$=$\frac{1}{tan\frac{π}{12}}$=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=2+$\sqrt{3}$，
则f（$\frac{π}{12}$）=2tan$\frac{π}{12}$+2cot$\frac{π}{12}$=2（2-$\sqrt{3}$）+2（2+$\sqrt{3}$）=8
故答案为：8．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．