题目内容
6．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，y=f（x）在x=-2时有极值，在x=1处的切线方程为y=3x+1．（1）求a，b，c
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．
分析 （1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x=-2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式．
（2）先求函数的导数f'（x），通过f'（x）＞0，及f'（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的极值即可．
解答 解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c求导数得：f′（x）=3x2+2ax+b，
∴f′（1）=2a+b+3=3①，f′（-2）=12-4a+b=0②，
由①②解得：a=2，b=-4，
过x=1处的切线方程为：y-f（1）=f′（1）（x-1）即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1）③
将a=2，b=-4，代入③，解得：c=5，
（2）由（1）得：f（x）=x3+2x2-4x+5．
∴f′（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）
| x | -3 | （-3，-2） | -2 | （-2，$\frac{2}{3}$ | $\frac{2}{3}$ | （$\frac{2}{3}$，1） | 1 |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f（x） | 8 | 递增 | 13 | 递减 | 极小值 | 递增 | 4 |
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13
点评 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．
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