题目内容
5.已知∠A、∠B、∠C是三角形ABC三个内角,那么$\frac{1}{2}$[cos(A+B)-cos(A-B)]sin2C的取值范围为(0,$\frac{16}{27}$].分析 由三角函数恒等变换的应用化简原式可得$\frac{1}{2}$cos(A-B)sin2C+$\frac{1}{2}$cosCsin2C,利用不等式abc≤($\frac{a+b+c}{3}$)3当且仅当a=b=c时取“=”,即可求得最大值.
解答 解:∵$\frac{1}{2}$[cos(A-B)-cos(A+B)]sin2C,
=$\frac{1}{2}$cos(A-B)sin2C+$\frac{1}{2}$cosCsin2C,
≤$\frac{1}{2}$sin2C+$\frac{1}{2}$cosCsin2C(当且仅当A=B时取“=”),
=$\frac{1}{2}$(1+cosC)sin2C,
=$\frac{1}{2}$(1+cosC)(1-cos2C),
=$\frac{1}{2}$(1+cosC)(1-cosC)(1+cosC),
=$\frac{1}{4}$(1+cosC)(2-2cosC)(1+cosC),
≤$\frac{1}{4}$($\frac{1+cosC+2-2cosC+1+cosC}{3}$)3=$\frac{1}{4}$×($\frac{4}{3}$)3=$\frac{16}{27}$.当且仅当“1+cosC=2-2cosC”,即cosC=$\frac{1}{3}$且A=B时取“=”.
又∵角A,B,C为△ABC的三个内角,
∴由和差化积公式可得:$\frac{1}{2}$[cos(A-B)-cos(A+B)]sin2C=sinAsinBsin2C>0.
综上,可得[cos(A-B)-cos(A+B)]sin2C的取值范围是:(0,$\frac{16}{27}$].
故答案为:(0,$\frac{16}{27}$].
点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,基本不等式的应用,综合性技巧性较强,属于中档题.
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A. | 1 | B. | 3 | C. | 2 | D. | -2 |
A. | 假设至少有一个钝角 | |
B. | 假设至少有两个钝角 | |
C. | 假设没有一个钝角 | |
D. | 假设没有一个钝角或至少有两个钝角 |