题目内容
【题目】直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠ADC=120°,AA1=AB=1,点O1、O分别是上下底菱形对角线的交点.
(1)求证:A1O∥平面CB1D1;
(2)求点O到平面CB1D1的距离.
【答案】
(1)证明:连结OA和CO,
在四边形OCOA中,OC∥AO且AO=OC,
∴四边形AOCO为平行四边形,
∴AO∥OC
又OC平面CBD,AO平面CBD,
∴AO∥平面CBD
(2)解:由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,可得B1D1⊥平面O1OC,
∵B1D1平面CB1D1,
∴平面CB1D1⊥平面O1OC,
设点O到平面CB1D1的距离为h,则△O1OC中,OC= ,O1O=1,
∴O1C= =
,
由等面积可得h= =
,
∴点O到平面CB1D1的距离为 .
【解析】(1)连结OA和CO,证明四边形AOCO为平行四边形,可得AO∥OC,利用线面平行的判定定理证明A1O∥平面CB1D1;(2)先证明出平面CB1D1⊥平面O1OC,利用等面积求点O到平面CB1D1的距离.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
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