题目内容
【题目】已知圆O:,直线l:
.
若直线l与圆O交于不同的两点A、B,当
为锐角时,求k的取值范围;
若
,P是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点为C、D,则直线CD是否过定点?若是,求出定点,并说明理由.
若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦,垂足为
,求四边形EGFH的面积的最大值.
【答案】(1)或
;(2)直线CD恒过定点
.详见解析(3)
【解析】
(1)首先可以设出两点坐标,然后联立圆与直线方程并得出
的值,最后根据
以及
即可得出结果;
(2)首先将带入直线方程得出直线的解析式,然后设出
点坐标并写出以
为直径的圆的方程,最后将其与圆
方程联立即可得出直线
的方程并根据直线
的方程得出定点坐标;
(3)首先可以设圆心到直线
的距离分别为
、
,然后通过勾股定理即可得出
的值,再然后写出
与
,通过
即可求出四边形
的面积的最大值。
(1)根据题意,设,
,
将代入
,整理得到:
,
则有,解可得:
,
而,
为锐角
,
又由,
解可得:,
又由,则
,
解可得:或
;
(2)时,直线l的方程为:
,
设,则以
为直径的圆的方程为
,
即,将其和圆O:
联立,消去平方项得:
,即为直线
的方程,
将其化为知该直线恒过定点
,
故直线CD恒过定点;
(3)设圆心O到直线EF、GH的距离分别为、
,
则,
所以,
,
所以,
当且仅当即
时,取“
”,
所以四边形EGFH的面积的最大值为。

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