题目内容
【题目】如图,摄影爱好者在某公园A处,发现正前方B处有一立柱,测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为,已知摄影爱好者的身高约为
米(将眼睛S距地面的距离SA按
米处理).
(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB;
(2)立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN,且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻,摄影爱好者观察彩杆MN的视角(设为
)是否存在最大值?若存在,请求出
取最大值时
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) AB为3米 OB为2米 (2) 当视角∠MSN取最大值时,cosθ=
.
【解析】
(1)如图,作SC⊥OB于C,
依题意∠CSB=30°,∠ASB=60°.
又SA=,故在Rt△SAB中,可求得AB=
=3,
即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米.
在Rt△SCO中,SC=3,∠CSO=30°,OC=SC·tan 30°=,
又BC=SA=,故OB=2
,即立柱的高度OB为2
米.
(2)方法一:如图,以O为原点,以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系,连接SM,SN,
设M(cosα,sinα),α∈[0,2π),
则N(-cosα,-sinα),由(1)知S(3,-).
故=(cosα-3,sinα+
),
=(-cosα-3,-sinα+
),
∵·
=(cosα-3)·(-cosα-3)+(sinα+
)·(-sinα+
)=11.
||·|
|=
·
=·
=
=.
由α∈[0,2π)知||·|
|∈[11,13].
所以cos∠MSN=∈[
,1],易知∠MSN为锐角,
故当视角∠MSN取最大值时,cosθ=.
方法二:∵cos∠MOS=-cos∠NOS,
∴=-
于是得SM2+SN2=26从而
cosθ=≥
=
.
又∠MSN为锐角,
故当视角∠MSN取最大值时,cosθ=.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价
(单位:元)与上市时间
(单位:天)的数据如下:
上市时间 | |||
市场价 |
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价与上市时间
的变化关系:①
;②
;③
;
(2)利用你选取的函数,求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格;
(3)设你选取的函数为,若对任意实数
,关于
的方程
恒有个想异实数根,求
的取值范围.