Question

5．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+a（x≥3a）}\\{3x-5a（a＜x＜3a）}\\{-x-a（x≤a）}\end{array}\right.$，a＞0（x∈R）．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥2x-6的解集；
（2）若a=2时，f（x）＞m恒成立，求m的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤0的解集是[-3，5]，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将a=2代入，分类讨论，解不等式f（x）≥2x-6，最后综合讨论结果，可得答案；
（2）将a=2代入，求出函数f（x）的最大值，进而根据f（x）＞m恒成立，求m的取值范围；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+a（x≥3a）}\\{3x-5a（a＜x＜3a）}\\{-x-a（x≤a）}\end{array}\right.$在（-∞，a]上为减函数，在[a，+∞）上为增函数，若不等式f（x）≤0的解集是[-3，5]，则-3＜a＜5，且f（-3）=3-a=0，解出a值，并检验可得答案．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，}&{x≥6}\\{3x-10，}&{2＜x＜6}\\{-x-2，}&{x≤2}\end{array}\right.$，
若x≥6，由f（x）≥2x-6得x+2≥2x-6，解得x≤8，此时6≤x≤8，
若2＜x＜6，由f（x）≥2x-6得3x-10≥2x-6，解得x≥4，此时4≤x＜6，
若x≤2，由f（x）≥2x-6得-x-2≥2x-6，解得x≤$\frac{4}{3}$，此时x≤$\frac{4}{3}$，
综上4≤x≤8或x≤$\frac{4}{3}$，即不等式f（x）≥2x-6的解集为[4，8]∪（-∞，$\frac{4}{3}$]
（2）若a=2时，
若x≥6，f（x）=x+2≥8，
若2＜x＜6，由f（x）=3x-10∈（-4，8），
若x≤2，由f（x）=-x-2≥-4，
综上f（x）≥-4，
若f（x）＞m恒成立，则m≤-4，
即m的取值范围为m≤-4；
（3）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+a（x≥3a）}\\{3x-5a（a＜x＜3a）}\\{-x-a（x≤a）}\end{array}\right.$在（-∞，a]上为减函数，在[a，+∞）上为增函数，
若不等式f（x）≤0的解集是[-3，5]，
则-3＜a＜5，且f（-3）=3-a=0，解得：a=3，
当a=3时，（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+3，（x≥9）\\ 3x-15，（3＜x＜9）\\-x-3，（x≤3）\end{array}\right.$满足不等式f（x）≤0的解集是[-3，5]，
故a=3．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想是解答分段函数问题的必要手段，必须熟练掌握．