Question

14．求下列函数的值域：
①y=sin（3x+$\frac{π}{6}$）（-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{6}$）；
②y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），x$∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$；
③y=sin（$\frac{π}{4}-2x$）（$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 求出函数的相位角的范围，结合正弦函数的图象和性质，可得相应正弦型函数的值域．

解答 解：①∵-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{π}{3}$≤3x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，
当3x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$时，函数取最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当3x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数取最大值1，
故函数y=sin（3x+$\frac{π}{6}$）（-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{6}$）的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]；
②∵x$∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$$∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，函数取最小值-$\frac{1}{2}$，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数取最大值1，
故函数y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），x$∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$的值域为[-$\frac{1}{2}$，1]；
③∵$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{4}$，
∴$-\frac{π}{4}≤$$\frac{π}{4}-2x$$≤\frac{3π}{4}$，
当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{4}$时，函数取最小值-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数取最大值1，
故函数y=sin（$\frac{π}{4}-2x$）（$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{4}$）的值域为[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]；

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．