Question

5．若数列{a_n}为无穷等比数列，且$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=$\frac{1}{7}$，则a₁的取值范围是{x|$0＜x＜\frac{2}{7}$，且$x≠\frac{1}{7}$}．

Answer 1

分析 数列{a_n}为无穷等比数列，且$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=$\frac{1}{7}$，可得$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{1}{7}$，0＜|q|＜1，解出即可．

解答 解：∵数列{a_n}为无穷等比数列，且$\underset{lim}{n→∞}$（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=$\frac{1}{7}$，
∴$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{1}{7}$，0＜|q|＜1，
则a₁=$\frac{1}{7}（1-q）$∈$（0，\frac{2}{7}）$，且a₁≠$\frac{1}{7}$．
∴a₁的取值范围是{x|$0＜x＜\frac{2}{7}$，且$x≠\frac{1}{7}$}．
故答案为：{x|$0＜x＜\frac{2}{7}$，且$x≠\frac{1}{7}$}．

点评 本题考查了无穷等比数列的前n项和公式、极限性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．