Question

2．已知命题p：点M（1，3）不在圆（x+m）²+（y-m）²=16的内部，命题q：“曲线${C_1}：\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{2m+8}=1$表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线${C_2}：\frac{x^2}{m-t}+\frac{y^2}{m-t-1}=1$表示双曲线”．
（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；
（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出p，q为真时的m的范围，根据“p且q”是真命题，得到关于m的不等式组，解出即可；
（2）先求出s为真时的m的范围，结合q是s的必要不充分条件，得到关于t的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）若p为真：（1+m）²+（3-m）²≥16
解得m≤-1或m≥3，
若q为真：则$\left\{\begin{array}{l}{m^2}＞2m+8\\ 2m+8＞0\end{array}\right.$
解得-4＜m＜-2或m＞4
若“p且q”是真命题，
则$\left\{\begin{array}{l}m≤-1或m≥3\\-4＜m＜-2或m＞4\end{array}\right.$，
解得-4＜m＜-2或m＞4；
（2）若s为真，则（m-t）（m-t-1）＜0，
即t＜m＜t+1，
由q是s的必要不充分条件，
则可得{m|t＜m＜t+1}$\begin{array}{l}?\\≠\end{array}${m|-4＜m＜-2或m＞4}，
即$\left\{\begin{array}{l}t≥-4\\ t+1≤-2\end{array}\right.$或t≥4，
解得-4≤t≤-3或t≥4．

点评 本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查集合的包含关系，是一道中档题．