题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率
，一个长轴顶点在直线
上，若直线
与椭圆交于
，
两点，
为坐标原点，直线
的斜率为
，直线
的斜率为
.
（1）求该椭圆的方程.
（2）若
，试问
的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
的面积为定值1.
【解析】
（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设
，
，当直线
的斜率存在时，设其方程为
，求
，点
到直线的距离
，写出三角形面积，化简即可求证.
由
，又由于
，一个长轴顶点在直线
上，
可得：
，
，
.
（1）故此椭圆的方程为.
（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立椭圆的方程得：
，
由
，可得
，
则
，
，
，
又点到直线的距离
，
，
由于
，
可得：
，
故
，
当直线的斜率不存在时，可算得：
，
故的面积为定值1.
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