Question

8．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-2≤0\\ x-y≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为2．

Answer 1

分析 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部，再将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=1且y=1时，z_最大值=a+b=2．由此再利用基本不等式求最值，可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}3x-y-2≤0\\ x-y≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$表示的平面区域，
得到如图的△ABO及其内部，$\left\{\begin{array}{l}3x-y-2=0\\ x-y=0\end{array}\right.$其中A（1，1），
B（$\frac{2}{3}$，0），0为坐标原点
设z=F（x，y）=ax+by，将直线l：z=ax+by进行平移，
由a＞0且b＞0得直线l的斜率为负数，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z_最大值=F（1，1）=a+b=2，
因此，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$）
∵a＞0且b＞0，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥2$，∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$≥2，
当且仅当a=b=1时，等号成立
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为：2．
故答案为：2

点评 本题给出二元一次不等式组，求在已知目标函数的最大值为1的情况下求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值，着重考查了基本不等式、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．