题目内容
【题目】如图,已知直三棱柱中,,,是的中点,是上一点,且.
(1)证明:平面;
(2)求二面角余弦值的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)证明出,可得出,即有,再证明出平面,可得出,然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面;
(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,然后利用空间向量法计算出二面角余弦值的大小.
(1)由题意知,等腰直角三角形中,中线,且,
在直三棱柱中,底面,
、平面,从而知,,
一方面,在中,因为,,则.
由,可得,从而可知,又,
则得,由此可得,即有.
另一方面,由,,,得平面,
又平面,则知.
综上,,且,又,故平面,得证之;
(2)由题意,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
且有、、、、,
从而有、、,
由,可得,
记为平面的一个法向量,
则有,取,得.
又由(1)知平面,故可取为平面的一个法向量,那么可得.
因此,二面角余弦值的大小为.
【题目】某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现,每回馈消费者一定的点数,该商品每天的销量就会发生一定的变化,经过试点统计得到以如表:
反馈点数t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量百件天 | 1 |
经分析发现,可用线性回归模型拟合当地该商品销量千件与返还点数t之间的相关关系请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程,并预测若返回6个点时该商品每天销量;
若节日期间营销部对商品进行新一轮调整已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大,经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
返还点数预期值区间 百分比 | ||||||
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值同一区间的预期值可用该区间的中点值代替;估计值精确到;
将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者,现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查,设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.
参考公式及数据:,;.
【题目】某网络平台从购买该平台某课程的客户中,随机抽取了100位客户的数据,并将这100个数据按学时数,客户性别等进行统计,整理得到如表:
学时数 |
| ||||||
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
(1)根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,结果保留小数点后两位);
(2)从这100位客户中,对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求这2人购买的学时数都不低于15的概率.
(3)将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”,25学时以下者视,为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下列联表,并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关?
非十分爱好该课程者 | 十分爱好该课程者 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 | 100 |
附:,
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |