题目内容

【题目】如图,已知直三棱柱中,的中点,上一点,且.

1)证明:平面

2)求二面角余弦值的大小.

【答案】1)证明见解析;(2.

【解析】

1)证明出,可得出,即有,再证明出平面,可得出,然后利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面

2)以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,然后利用空间向量法计算出二面角余弦值的大小.

1)由题意知,等腰直角三角形中,中线,且

在直三棱柱中,底面

平面,从而知

一方面,在中,因为,则.

,可得,从而可知,又

则得,由此可得,即有.

另一方面,由,得平面

平面,则知.

综上,,且,又,故平面,得证之;

2)由题意,以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系

且有

从而有

,可得

为平面的一个法向量,

则有,取,得.

又由(1)知平面,故可取为平面的一个法向量,那么可得.

因此,二面角余弦值的大小为.

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