题目内容
【题目】已知与曲线
相切的直线
，与
轴， 
轴交于
两点， 
为原点， 
， 
，（ 
）.
（1）求证:： 
与
相切的条件是： 
.
（2）求线段
中点的轨迹方程；
（3）求三角形
面积的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
．
【解析】试题分析：（1）写出直线的截距式方程，化为一般式，化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于半径得到曲线C与直线l相切的充要条件；
（2）设出线段AB的中点坐标，由中点坐标公式得到a，b与AB中点坐标的关系，代入（1）中的条件得线段AB中点的轨迹方程．（3）因为a与b都大于2，且三角形AOB为直线三角形，要求面积的最小值即要求ab的最小值，根据（1）中直线l与圆相切的条件（a-2）（b-2）=2解出ab，然后利用基本不等式即可求出ab最小时当且经当a与b相等，求出此时的a与b即可求出面积的最小值．
试题解析：
(1)圆的圆心为
，半径为1.可以看作是
的内切圆。
内切圆的半径
，
即
，
即
，
．
(2)线段AB中点
为
∴
（
）
(3) 
，
，
解得
， 
，
，
最小面积
．
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智趣寒假作业云南科技出版社系列答案
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