题目内容
【题目】已知圆
恰好经过椭圆
的两个焦点和两个顶点.
（1）求椭圆
的方程；
（2）经过原点的直线
(不与坐标轴重合)交椭圆
于
两点， 
轴，垂足为
，连接
并延长
交椭圆
于
，证明：以线段
为直径的圆经过点
.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）由
恰好经过椭圆
的两个焦点和两个顶点可得
， 
从而可得椭圆
的方程；（2）设直线
的斜率为
，可得线
的斜率为
， 
的方程为
，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得
的坐标，可得直线
的斜率为
，即得
，以线段
为直径的圆一定经过点
.
试题解析：（1）由题意可知， 
， 
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）证明：设直线
的斜率为
， 
，在直线
的方程为
，
.
直线
的斜率为
，所以直线
的方程为
，
联立
得
，
记
横坐标分別为
.由韦达定理知: 
,
所以
，于是
，
所以直线
的斜率为
，
因为
.所以
，
所以以线段
为直径的圆一定经过点
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
英才点津系列答案
红果子三级测试卷系列答案【题目】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”
（1）求
的值并估计全校3000名学生中读书谜大概有多少？（将频率视为概率）
（2）根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？
非读书迷 | 读书迷 | 合计 | |
男 | 15 | ||
女 | 45 | ||
合计 |
附：
.
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
