题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，侧面
与侧面
都是菱形， 
， 
．
（1）求证： 
；
（2）若
， 
的中点为
，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】试题分析：证明线线垂可寻求证明线面垂直，取取
中点
，连接
， 
，利用条件证明
平面
.以
为坐标原点，分别以
， 
， 
为正方向建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面
和平面
的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值.
试题解析：
（1）证明：连接
， 
，则
和
皆为正三角形．
取
中点
，连接
， 
，则
， 
，从而
平面
， 
．
（2）解：由（1）知， 
，又
满足
所以
， 
平面
．
如图所示，分别以
， 
， 
为正方向建立空间直角坐标系，
则
， 
， 
， 
， 
， 
，
设平面
的法向量为
，因为
， 
，
所以
取
．
设平面
的法向量为
，因为
， 
，
同理可取
．
则
，因为二面角
为钝角，
所以二面角
的余弦值为
．
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