题目内容

已知一组曲线中任取的一个数,为1,3,5,7中任取的一个数,从这些曲线中任意抽取两条,它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是
A.B.C.D.
A

分析:由题意知,所有抛物线条数是4×4=16条,从16条中任取两条的方法数是C162=120,其中与直线x=1交点处的切线的斜率为k=a+b,由与切线相互平行,可得斜率相等,讨论a+b的取值,从而可求
解:a为2,4,6,8中任取一数,b为1,3,5,7中任取一数的曲线y=ax3+bx+1,共16条,从这些曲线中任意抽取两条共C162
∵y=ax3+bx+1,
∴y′=ax2+b,
∴在与直线x=1交点处的切线的斜率为k=a+b因为切线相互平行,所以斜率相等,即a+b相等,
当a+b=5时,共(2,3),(4,1)两组,
当a+b=7时,共(2,5),(4,3),(6,1)三组,
当a+b=9时,共(2,7),(4,5),(6,3),(8,1)四组,
所以切线平行的曲线共C22+C32+C42,所以其概率为=
故选A
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